Booléens et fonctions booléennes

George Boole, au XIXe siècle, a voulu calculer avec des propositions vraies ou fausses, comme on calcule avec des nombres. Un siècle plus tard, les circuits ont fait de cette algèbre quelque chose de physique : un fil porte un signal, ou il n'en porte pas. En programmation, le même partage revient dans chaque if. Un booléen n'a que deux valeurs, vrai ou faux, qu'on note aussi 1 ou 0.

Une variable booléenne contient l'une de ces deux valeurs. Une fonction booléenne en prend une ou plusieurs, et en renvoie une. Comme on ne peut pas « essayer un peu » : il y a peu de combinaisons, on les écrit toutes. C'est la table de vérité.

Quatre opérations

Le NON, noté $\overline{a}$ ou not, inverse la valeur de son unique entrée.

a	s
0	1
1	0

Le ET, noté $a \cdot b$ ou and, n'est vrai que si les deux entrées le sont. Une seule suffit à le rendre faux. C'est l'opération exigeante.

a	b	s
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Le OU, noté $a + b$ ou or, est vrai dès qu'une entrée au moins est vraie. Les deux vraies ensemble restent vraies : ce n'est pas un choix exclusif.

a	b	s
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Le OU exclusif, le XOR, noté $a \oplus b$ , est vrai quand exactement une entrée est vraie. Deux zéros : faux. Deux uns : faux aussi. C'est le « l'un ou l'autre, pas les deux ».

a	b	s
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

En notation algébrique, $+$ veut dire OU, $\times$ ou $\cdot$ veut dire ET, et la barre veut dire NON. Ce ne sont pas l'addition et la multiplication des entiers, même si les symboles se ressemblent. $1 + 1$ en booléen vaut 1, pas 2.

Calculer une expression

Soit $S = (a + b) \times c$ , avec $a = 1$ , $b = 0$ , $c = 0$ .

D'abord $a + b = 1 + 0 = 1$ . Ensuite $1 \times 0 = 0$ . Donc $S = 0$ .

La priorité usuelle place le NON avant le ET, et le ET avant le OU. Les parenthèses lèvent le doute, et il vaut mieux les écrire que de compter sur la mémoire de tout le monde.

En Python

a = True
b = False
c = False

S = (a or b) and c   # False
print(not a)         # False
print(a and b)       # False
print(a or b)        # True

Mathématiques	Python
ET	`and`
OU	`or`
NON	`not`

True or True vaut True, parce que or est le OU inclusif. Un XOR des deux mêmes valeurs vaudrait False. En Python, ^ entre booléens fait ce XOR, mais dans les conditions on écrit and, or et not, qui se lisent.

Pour s'entraîner

Les exercices sur les booléens demandent de construire des tables, pas seulement de les relire.