🔢 Nombres réels en Binaire

💫 Les nombres réels en binaire

📖 Contexte

Après avoir représenté les nombres entiers, il est nécessaire de représenter les nombres réels, nombres dits décimaux ou à virgule.

Les nombres décimaux permettent de représenter des valeurs qui peuvent être analogiques :

• π (pi) ≈ 3.14159...
• Température : 36.7°C
• Altitude : 1847.5 mètres
• Coordonnées GPS : 48.8566° N

La représentation des nombres réels a été approchée de plusieurs manières différentes.

✏️ Écriture en binaire de la partie réelle

🔍 Principe

Pour écrire la partie réelle d'un nombre en binaire, on utilise les puissances négatives de 2.

Rappel des puissances négatives :

• $2^{-1} = 1/2 = 0,5$
• $2^{-2} = 1/4 = 0,25$
• $2^{-3} = 1/8 = 0,125$
• $2^{-4} = 1/16 = 0,0625$

📝 Exemple : 0,75 en binaire

0,75 = 0,5 + 0,25
     = 2⁻¹ + 2⁻²
     = 0,11₂

🔄 Méthode des multiplications successives

📋 Algorithme

Pour convertir la partie décimale d'un nombre en binaire :

1. Multiplier la partie décimale par 2
2. Si le résultat ≥ 1 : écrire 1 et soustraire 1
3. Sinon : écrire 0
4. Répéter avec la nouvelle partie décimale

🎯 Exemple pratique : 14,75

Partie entière : $14_{10} = 1110_2$

Partie décimale : 0,75

Résultat final

14,75₁₀ = 1110₂ + 0,11₂ = 1110,11₂

🧮 Test d'opération

🔍 Vérification pratique

On a vu dans le cours précédent que pour qu'une représentation soit utilisable, elle doit permettre les opérations sans erreurs.

Faisons un test sur l'opération 14,75 + 1,25.

📝 Conversion de 1,25₁₀ en binaire

Partie entière : $1_{10} = 1_2$

Partie décimale : 0,25

Résultat

0,25₁₀ = 0,010₂
Donc : 1,25₁₀ = 1,010₂

🧮 Vérification de l'opération

14,75₁₀ + 1,25₁₀ = 16₁₀
1110,110₂ + 1,010₂ = 10000,000₂ = 16₁₀ ✅

🏛️ La Norme IEEE754

📖 Principe général

La norme IEEE754 permet de représenter les nombres réels en utilisant le principe de virgule flottante.

Cette norme permet d'écrire chaque nombre comme une écriture scientifique avec pour base 2.

Un nombre N s'écrit : $N = (-1)^S \times m \times 2^n$ avec $m \in [1;2[$

🏗️ Structure IEEE754 (32 bits - simple précision)

S E E E E E E E E M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M

• S = Signe (1 bit) : 0 = positif, 1 = négatif
• E = Exposant (8 bits) : puissance de 2 (biaisée de 127)
• M = Mantisse (23 bits) : partie fractionnaire

🎯 Exemple : 14,75 en IEEE754

Étape 1 : Représenter en base 2

$14_{10} = 1110,110_2$

Étape 2 : Écriture scientifique

$1110,110_2 = 1,110110_2 \times 2^3$

Résultat : s=0, m=110110₂, n=3

🔧 Calcul des composants

Étape 3 : Exposant biaisé

E = n + 127 = 3 + 127 = 130 $130_{10} = 10000010_2$

Étape 4 : Assemblage final

$14,75_{10} = 0 \ 10000010 \ 11011000000000000000000$

⚠️ Problème d'imprécision des flottants

🚨 Limitation importante

La représentation des nombres réels en binaire peut poser des problèmes d'imprécision.

Certains nombres décimaux ne peuvent pas être représentés exactement en binaire.

Par exemple, le nombre 0,1 en décimal ne peut pas être représenté exactement en binaire.

🐍 Exemple en Python

Démonstration du problème

>>> 0.1 + 0.2
0.30000000000000004

>>> a = 3.3
>>> b = 2.1
>>> c = 4.2
>>> (a+b)*c
22.680000000000003
>>> a*c + b*c
22.68

Ce problème est dû au fait que 0,1 et 0,2 ne peuvent pas être représentés exactement en binaire.

🔧 Solutions pratiques

Solution 1 : Bibliothèque decimal

from decimal import Decimal

a = Decimal('0.1')
b = Decimal('0.2')
print(a + b)  # 0.3
print(a + b == Decimal('0.3'))  # True

Solution 2 : Tolérance pour comparaisons

def almost_equal(a, b, tolerance=1e-9):
    return abs(a - b) < tolerance

print(almost_equal(0.1 + 0.2, 0.3))  # True