Le binaire : Définition

On compte d'habitude en base 10. Cela veut dire qu'on dispose de dix symboles, de 0 à 9, et que la position d'un chiffre change sa valeur. L'informatique n'a pas dix symboles. Elle en a deux : 0 et 1. On les appelle des bits. Huit bits regroupés forment un octet.

Pourquoi deux seulement ? Parce qu'un circuit est à l'aise avec une question fermée : le courant passe, ou il ne passe pas. Tout le reste, les nombres, le texte, les images, se reconstruit à partir de cette alternative.

Compter en base 10, pour s'en souvenir

En base 10, la colonne de droite est celle des unités, puis viennent les dizaines, les centaines. Le nombre 154 se décompose ainsi :

$154 = 10^2 \times 1 + 10^1 \times 5 + 10^0 \times 4$

C'est une décomposition selon la base. Ici, la base vaut 10. Le même geste va servir en base 2. Seule la base change.

Du binaire vers le décimal

Un nombre binaire est lui aussi positionnel. La colonne de droite vaut $2^0$, celle d'à côté $2^1$, puis $2^2$, et ainsi de suite vers la gauche.

Prenons $11001$ en base 2 :

$11001_2 = 1 \times 2^4 + 1 \times 2^3 + 0 \times 2^2 + 0 \times 2^1 + 1 \times 2^0 = 16 + 8 + 0 + 0 + 1 = 25_{10}$

On n'additionne que les puissances de 2 dont le bit vaut 1. Les 0 occupent une place, ils comptent dans la position des autres, mais ils n'ajoutent rien.

Exercice Convertir les nombres binaires suivant en base 10 : a. $1101_2$ b. $10101_2$ c. $111000_2$ d. $10010_2$

Du décimal vers le binaire

Dans l'autre sens, on utilise les divisions successives par 2.

On divise le nombre par 2. Le reste, 0 ou 1, est un bit du résultat. Le quotient est divisé à nouveau par 2, et on recommence. On s'arrête lorsque le quotient vaut 0. Le dernier reste vaut alors 1, sauf si le nombre de départ était 0.

L'ordre compte. Le premier reste obtenu est le bit de droite, le bit de poids faible. On lit ensuite les restes dans le sens de la flèche du schéma, du dernier calcul vers le premier. Recopiés dans l'ordre où ils apparaissent, ils donnent le nombre écrit à l'envers.