Booléens et fonctions booléennes

Objectifs

• Définir une variable et une fonction booléenne
• Lire et construire une table de vérité
• Utiliser NOT, AND, OR, XOR (et les opérateurs Python)

Idée clé

Un booléen ne prend que deux valeurs : Vrai / Faux (ou 1 / 0). En machine, cela correspond à la présence ou non d'un signal. Les portes logiques et une grande partie des conditions en programmation reposent sur ces opérations.

Variables et tables de vérité

Variable booléenne : True ou False (1 ou 0).

Fonction booléenne : prend une ou plusieurs variables booléennes et renvoie un booléen.

La table de vérité liste toutes les combinaisons d'entrées et le résultat associé.

Les quatre opérations de base

NOT (non) — $\overline{a}$ ou not

AND (et) — $a \cdot b$ ou and

Vrai seulement si les deux entrées sont vraies.

OR (ou) — $a + b$ ou or

Vrai si au moins une entrée est vraie.

XOR (ou exclusif) — $a \oplus b$

Vrai si exactement une entrée est vraie.

Évaluer une expression

Notation classique : $+$ pour OU, $\times$ (ou $\cdot$) pour ET, barre pour NON.

Exemple : $S = (a + b) \times c$ avec $a=1$, $b=0$, $c=0$.

1. $a + b = 1 + 0 = 1$
2. $1 \times 0 = 0$
3. $S = 0$

Priorité usuelle : NON > ET > OU (les parenthèses clarifient toujours).

En Python

a = True
b = False
c = False

S = (a or b) and c   # False
print(not a)         # False
print(a and b)       # False
print(a or b)        # True

Piège fréquent

Confondre OU et XOR : avec OR, True or True vaut True ; avec XOR, ce serait False. En Python, ^ sur des booléens fait un XOR, mais on utilise surtout and / or / not.

À retenir

• Booléen = deux états (Vrai/Faux ou 1/0)
• Table de vérité = toutes les combinaisons d'entrées
• AND : les deux à 1 ; OR : au moins un à 1 ; XOR : exactement un à 1
• NOT inverse une valeur
• En Python : and, or, not (et True / False)
• Les parenthèses évitent les ambiguïtés de priorité

Pour s'entraîner

Exercices — booléens