Entiers négatifs en binaire

Objectifs

• Comprendre pourquoi un simple « bit de signe » ne suffit pas
• Représenter un entier négatif en complément à deux
• Vérifier qu'une addition binaire donne le bon résultat

Idée clé

Sur $n$ bits, les ordinateurs codent les entiers relatifs en complément à deux : le bit de poids fort vaut $-2^{n-1}$, les autres bits restent positifs. L'addition marche alors comme pour les positifs (sans circuit spécial pour la soustraction).

Pourquoi coder les négatifs ?

Températures, scores, coordonnées… Il faut des nombres signés. On fixe d'abord la taille : 4 bits, 8 bits, 32 bits, etc. Le domaine représentable dépend de $n$.

Sur 8 bits en complément à deux : de $-128$ à $+127$.

Première idée : bit de signe

Le bit le plus à gauche code le signe : 0 = positif, 1 = négatif ; le reste code la valeur absolue.

Exemples sur 4 bits : $0100_{(2)} = +4$, $1001_{(2)} = -1$.

Deux problèmes :

1. Deux zéros : $0000$ et $1000$
2. Additions fausses : $-13 + 13$ ne donne pas 0 avec cette convention

Cette représentation n'est donc pas utilisée pour l'arithmétique machine.

Complément à deux

Analogie

Comme un compteur kilométrique : après $0000$, en reculant on obtient $1111$, $1110$, … qui jouent le rôle de $-1$, $-2$, …

Méthode (nombre négatif)

1. Écrire la valeur absolue en binaire (sur $n$ bits)
2. Inverser tous les bits (complément à 1)
3. Ajouter 1

Exemple : $-14$ sur 8 bits

1. $14 = 00001110_{(2)}$
2. Inversion : $11110001_{(2)}$
3. $+1$ : $11110010_{(2)}$

Donc $-14_{(10)} = 11110010_{(2)}$ (complément à 2, 8 bits).

Vérification par addition

Sur 4 bits : $14$ ne tient pas, prenons plutôt $6 + (-4)$.

• $6 = 0110_{(2)}$
• $-4$ : $0100$ → invert $1011$ → $+1$ → $1100_{(2)}$
• Somme : $0110 + 1100 = 10010$ → on garde 4 bits : $0010_{(2)} = 2$ ✓

Les retenues hors des $n$ bits sont ignorées.

Piège fréquent

Oublier d'ajouter 1 après l'inversion : on obtient alors le complément à 1, pas le complément à 2. Autre erreur : changer de taille de bits en cours de calcul (4 bits vs 8 bits).

À retenir

• Le bit de signe seul crée un double zéro et casse l'arithmétique
• Complément à 2 : inverser les bits, puis $+1$
• Sur $n$ bits : plage $[-2^{n-1}\,;\,2^{n-1}-1]$
• L'addition se fait comme pour les positifs ; on tronque à $n$ bits
• Le bit de poids fort vaut $-2^{n-1}$ en complément à 2
• C'est la représentation utilisée par les processeurs modernes

Pour s'entraîner

Exercices — données binaires