Entiers négatifs en Binaire

Les entiers négatifs

Le cours précédent a permis d'expliquer comment représenter les nombres entiers positifs en base 2. Cependant, toutes les grandeurs ne sont pas exclusivement positives (température, coordonnées, etc.). Pour pouvoir réaliser des simulations ou des traitements, il va falloir pouvoir représenter les nombres négatifs.

Première tentative : le bit de signe

Une première technique de représentation des nombres négatifs est d'ajouter un bit de poids fort (tout à gauche) qui représente le signe :

• 0 représente un nombre positif
• 1 représente un nombre négatif

Exemples :

• $1001_{2}$ représente sur 4 bits signés le chiffre -1
• $0100_{2}$ représente sur 4 bits signés le chiffre +4

Problèmes identifiés

Cela pourrait sembler être une bonne tentative, cependant deux problèmes majeurs se posent :

1. Double représentation du zéro :

   • $1000_{2}$ (zéro "négatif")
   • $0000_{2}$ (zéro "positif") Avoir 2 représentations pour un même chiffre n'est pas concevable.

2. Opérations incorrectes : Les opérations arithmétiques ne donnent pas les bons résultats. Exemple : $-13 + 13$ sur 5 bits. $11101_{2} (-13) + 01101_{2} (13) = 01010_{2} (+10)$ Résultat attendu : 0. Résultat obtenu : 10. ❌

Conclusion : Cette représentation n'est pas utilisable pour les calculs informatiques.

Seconde tentative : le complément à 2

Le complément à 2 est une technique qui a été proposée pour représenter les nombres négatifs de manière efficace et sans ambiguïté.

Analogie : le compteur kilométrique

On peut illustrer cela comme un compteur kilométrique de vieille voiture :

• Si on recule au kilomètre 000000, le compteur étant circulaire, en reculant d'un kilomètre de plus, ce compteur va afficher : 999999.
• Cette valeur 999999 peut donc représenter le kilomètre -1.

Principe de représentation : $1_{10} = 0001_{2} \rightarrow 0_{10} = 0000_{2} \rightarrow -1_{10} = 1111_{2} \rightarrow -2_{10} = 1110_{2} \rightarrow ...$

Méthode de conversion

Étapes pour convertir un nombre négatif :

1. Convertir la valeur absolue du nombre en base 2.
2. Inverser chaque bit : 0 devient 1 et inversement (Complément à 1).
3. Ajouter 1 à la représentation binaire du nombre inversé.

Exemple : Représenter -14 en base 2 (sur 8 bits)

1. $14_{10} = 00001110_{2}$
2. Inversion : $11110001_{2}$
3. Ajout de 1 : $11110001_{2} + 1_{2} = 11110010_{2}$ Donc $-14_{10} = 11110010_{2}$ (en complément à 2 sur 8 bits).

Vérification des opérations

Testons si cette méthode résout le problème des opérations. Test : 14 + (-4) sur 4 bits $-4_{10} = 1100_{2}$ (complément à 2) $14_{10} = 1110_{2}$

Calcul : $1110_{2} + 1100_{2} = 11010_{2}$

Sur 4 bits : on garde les 4 derniers bits : $1010_{2}$ Résultat : $1010_{2} = 10_{10}$ ✅ Vérification : $14 + (-4) = 10$

Succès ! Le complément à 2 permet de réaliser toutes les opérations possibles sans erreur. C'est la méthode utilisée dans tous les ordinateurs modernes.

Comparaison des méthodes