Entiers positifs en binaire et hexadécimal

Objectifs

• Comprendre ce qu'est une base de numération
• Convertir un entier binaire ↔ décimal
• Convertir un entier décimal ↔ hexadécimal
• Relier 4 bits à un chiffre hexadécimal

Idée clé

Une machine ne « voit » que deux états (courant / pas de courant). On code donc les entiers avec deux symboles : 0 et 1. L'hexadécimal (16 symboles) sert surtout à écrire le binaire de façon compacte : 1 chiffre hex = 4 bits.

Bases et colonnes

Dans toute base $b$, chaque colonne vaut une puissance de $b$.

Décimal (base 10) — symboles $\{0,\ldots,9\}$ :

$154_{(10)} = 1\times10^{2} + 5\times10^{1} + 4\times10^{0}$

Binaire (base 2) — symboles $\{0,1\}$ :

$1101_{(2)} = 1\times2^{3} + 1\times2^{2} + 0\times2^{1} + 1\times2^{0} = 13_{(10)}$

Un chiffre binaire s'appelle un bit ; 8 bits forment un octet.

Binaire → décimal

On additionne les puissances de 2 là où le bit vaut 1.

$1101_{(2)} = 8 + 4 + 0 + 1 = 13_{(10)}$

Toujours préciser la base si elle n'est pas évidente : $1101_{(2)}$, $13_{(10)}$.

Décimal → binaire

Divisions successives

On divise par 2 ; les restes lus de bas en haut donnent le binaire.

Exemple : $29_{(10)}$

29 ÷ 2 = 14  reste 1
14 ÷ 2 =  7  reste 0
 7 ÷ 2 =  3  reste 1
 3 ÷ 2 =  1  reste 1
 1 ÷ 2 =  0  reste 1

Résultat : $29_{(10)} = 11101_{(2)}$.

Vérification : $16+8+4+0+1 = 29$.

Soustractions (puissances de 2)

On pose le plus grand $2^k$ ≤ au nombre, on met 1, on continue avec le reste.

Exemple : $42_{(10)}$ → $2^5=32$ oui, $2^4=16$ non, $2^3=8$ oui, $2^2=4$ non, $2^1=2$ oui, $2^0=1$ non.

$42_{(10)} = 101010_{(2)}$

Hexadécimal

Base 16 : $\{0,\ldots,9,A,B,C,D,E,F\}$ (A = 10 … F = 15).

Astuce : regrouper le binaire par paquets de 4 bits.

$1111\,1111_{(2)} = \mathrm{FF}_{(16)} = 255_{(10)}$

Conversion décimal → hex : divisions successives par 16.

Exemple : $255 \div 16 = 15$ reste $15$ (F), puis $15 \div 16 = 0$ reste $15$ (F) → $\mathrm{FF}_{(16)}$.

Piège fréquent

Oublier l'ordre de lecture des restes (divisions successives) : on lit du dernier reste vers le premier, pas l'inverse. Vérifier toujours en reconvertissant vers le décimal.

À retenir

• Base $b$ = $b$ symboles ; valeur = somme des chiffres × puissances de $b$
• Binaire : colonnes $1, 2, 4, 8, 16, \ldots$
• Décimal → binaire : divisions par 2 (restes de bas en haut)
• 1 chiffre hex = 4 bits ; F = 15 = $1111_{(2)}$
• Toujours indiquer la base quand elle n'est pas claire
• Un octet = 8 bits

Pour s'entraîner

Exercices — données binaires